概率與期望值的應用(下)

主要資料來源：《赤裸裸的統計學》，Charies Wheelan著(美)，

曹 檳譯，中信出版社，2013。

很多時候，了解多重事件同時發生的概率是很有價值的。二個事件同時發生的概率取決於這二個事件各自發生的概率。如果是獨立事件，也就是一個事件的發生及結果對另一個事件不會造影響，這時就是這二個事件各自發生概率的乘積，例如連續投擲若干次硬幣、密碼位數組合…等。而今天下雨的概率與昨天是否下雨並不是相互孤立的、你今年出車禍的概率與明年出車禍的概率也不是獨立事件，因為車禍是與你的駕駛技術和駕駛習慣有關。如果對發生這個事件或發生那個事件感興趣，也就是出現結果A或結果B的概率(假設此二事件是相互獨立的)，那發生A或者發生B的概率就是A和B各自概率之和，即：A概率 + B概率。例如擲一次骰子，出現1點或6點的概率就是：1/6 + 1/6 = 1/3 。

通過概率的計算，我們還可以得到在所有管理決策的過程中，尤其在金融領域非常實用的統計工具：期望值。期望值可以想成，就是基礎概率的升級版。如彩票的期望值或收益，實際上就是所有不同結果的總和，其中每個結果都是由各自的概率和收益相乘而來。以擲骰子遊戲為例，若擲出幾點就可贏得幾美元，即擲出1點可獲1美元、2點可獲2美元，以此類推。那麼在此遊戲中，擲一次骰子的期望值就是：

1/6 x 1 + 1/6 x 2 +1/6 x 3 + 1/6 x 4 + 1/6 x 5 + 1/6 x 6  =  21/6  =  3.5 (美元)
 

你當然不可能擲一次骰子就獲得3.5美元，但期望值3.5美元是一個非常有用的參考數據，通過比較成本投入和期望收益，你就能知道做這件事是不是「值得」。如果每擲一次骰子需要4美元，你還會玩嗎？

我們可以用大數定律來解釋為什麼賭場從長期來看總是賺錢的問題。賭場可以根據調整概率和期望值，訂出各種玩法，當然，也不能把賭局的期望值與投入相差太多，這樣會對賭客缺乏吸引力，只要營業期間足夠長，吸引下注的賭客足夠多，賭場就肯定能賺錢(當然耍老千的除外)。

註：這就是施麗茲啤酒要找「100名」受試者參與中場休息直播活動的原因。

整個保險行業都是建立在概率的基礎之上，有些產品的另購「延長保修」服務只不過是保險的另一種表現形式而已，保戶支付一筆費用，換取一定期間符合理賠條件的保障。為什麼他們願意承擔這些風險？正是因為保險公司制定的保費長期來看會給公司帶來收益。對保戶來說，當他遭受難以承受的巨大損失時，理賠能讓他渡過難關。當然，從統計學的角度來看，購買保險正是一項「糟糕的投資」，因為保戶支付的總保險費永遠要比總理賠的多！對於巨富如巴菲特來說，他能承擔得起任何事故的損失，所以完全不需要買保險。

還有一個可以用概率來解釋一件有違直覺的現象。我們知道疾病檢測是一種預防方法，因此許多國家都有針對老年人的定期免費健康檢查，以期發現潛在的可能嚴重疾病，以便及早投入治療，因此是重要的預防醫學手段，可是這種方法有時也是行不通的。我們知道任何一種檢測方法都有一個準確率，不可能完全100%準確。亦即，可能發生「偽陽性」，也就是一個沒有患上該病的健康人，被誤檢為陽性；或檢查結果為「偽陰性」，亦即患上了該病確沒被檢出。當然一個好的檢驗方法，「偽陰性」越低越好，最好接近0，而其偽陽性率也要低到可以接受的程度。現假設有一種相當高準確度的檢驗方法，其準確率為99.9999%，亦即幾乎不會漏掉任何一個真正患上該病的人，但產生偽陽性誤測的概率為萬分之一。這會是一個很好的檢測方法嗎？雖然其準確率非常高，真正患病的人都能被檢出，但被檢測出陽性的人之中也有偽陽性的人。如果推廣到全民篩檢，就會在那些偽陽性的人群中產生巨大的恐慌，後續的檢測和治療也會浪費有限的醫療資源。所以在削減醫療開支的過程中，我們該做的不是對健康人群加強疾病篩查，而是要減少這類檢測，把有限資源用在刀刃上，也就是高危人群上。

有時候，我們能夠藉助概率發現一些可疑的事情。例如美國證券交易委員會在稽查內線交易中，就使用了類似的方法。內線交易包括非法使用內部訊息，來交易相關公司的股票或證券，例如即將開展的公司收購，這類訊息一般來說只有負責此事的律師事務所才會知道。證交會使用計算能力超強的電腦來分析數億美元的股票交易，試圖尋找出可疑的交易行為，如公司收購訊息即將披露之前搶進的大數額股票購入、公司正準備宣布虧損前的大量拋售等。那些長年取得超高收益的投資經理人也是重點調查對象，因為無論是經濟理論或歷史數據都告訴我們，每年的收益都超過平均水平對於一個投資者來說，幾乎是不可能的。美國證券交易委員會的執法部門，就可以通過電腦模型來確定犯罪行為，只是他們不願意明說。

概率概念還可以替警察進行犯罪預測分析，原因是城市的暴力犯罪主要是源自團伙作案，而這些團伙的作案手段往往有規律可循。將統計學應用到執法過程中，例如在犯罪偵查領域，預測未來已經成為可能，諸如犯罪趨勢、判斷社區熱點、優化資源調度，以最有效率地為市民提供最多的保護。犯罪總是帶有不確定的成分，就像誰會出車禍、誰會還不起貸款一樣。在面臨這些風險時，概率學能夠幫助我們走上正確的分析道路。各種訊息的收集和積累，能夠讓我們更好地理解相關事件的概率。

信用卡公司一直處於這類分析法的前沿，他們的數據庫中保存著大量有關客戶消費習慣的數據。那些擁有最佳信用記錄的客戶每個月總能準時付清帳單，信用卡公司無法從他們身上賺得一點利息；那些帳單數額巨大且經常忘記按時還款的客戶，才是信用卡公司的「金主」，高額的利息給公司帶來了豐厚的利潤，只要這些客戶不違約就行。在綜合考慮收入、信用記錄等傳統統計指標的基礎上，觀察消費者購買了什麼商品，就能夠準確地預測出他們接下來的消費行為。

當我們在生活中遇到不確定因素時，概率是一個可靠的參考工具。如果你有一個長遠的投資視野，你就不應該購買彩票，你應該把錢投入股市，因為股票是能夠帶來長期收益的一種投資品類；你應該為某些東西購買保險，其他東西就算了；概率學甚至還能幫助你在遊戲競賽節目中擴大贏面。

當然，我們不要忘了，概率並不是確定的。雖然不該買彩票，但就是有人通過買彩票發了財。概率學能夠幫助我們揪出作弊者、追蹤大壞蛋，但若使用不當，也有可能把無辜的人送進監獄！