統計推論與假設檢定

主要資料來源：《赤裸裸的統計學》，Charies Wheelan著(美)，

曹 檳譯，中信出版社，2013。

本書作者在大四時選了統計課，原本他對以數學為基礎的學科並不感興趣，在上課時也不認真，期中考勉強過關。後來在他完成一篇心中牽掛的論文後，有了時間回頭複習統計，結果期末考得了A。由於他的期末考比期中考進步非常多，還被老師叫到辦公室，但他一點都感覺不到任何誇獎鼓勵的意思，一直問是怎麼做到的，總覺得老師的話中有話。

這件事情讓他想到「統計推論」，也就是先發現一些規律和結果，然後再利用概率來證明這些結果背後最有可能的原因。假設有一個賭局，莊家丟一個骰子，如果得到6點，他就贏你1,000元，不是6，就輸你500元，看上去是不是對你十分有利？於是你忍不住下場，結果他竟然連續丟了10次6點，贏了你10,000元。一種可能的解釋是，他的運氣實在是太好了；還有一種解釋是，他可能作弊。一個正常的骰子，連續擲出10次6點的概率為六千萬分之一。雖然你無法證明他作弊，但至少應該檢查一下他的骰子！

話說回來，作者統計學教授的懷疑並非沒有道理，因為同一個學生期中考和期末考的成績通常相關性很高，會這樣想是可以理解的。正是因為這種思維方式，才能使調查人員能夠在統考中發現作弊、證交會能抓出不法的內線交易。當然，如果只是概率很低，還是要有其他證據才能定案。

統計推論是一個讓數據說話、讓有價值的結論浮出水面的過程。當然背後的基礎是要正確的抽取樣本，而且樣本數要足夠大，因為這是中央極限定理能夠成立的要件。單憑數據本身並不能證明任何結論，我們是通過推論概念來對可能的解釋予以支持或否定。我們需要先假設一個結論(統計名詞為「虛無假設」)，然後通過統計分析對其進行支持或反駁。反駁就是相當於承認了反面結論(統計名詞為「對立假設」)與真實情況更為接近。儘管概率很小的事，實際上還是可能會發生，一般在科學研究中推翻虛無假設最常參考的「門檻」訂在5%，即0.05，統計術語稱為「顯著水準」，也就是提供的數據能支持虛無假設的概率至少要達到5%這個顯著水準，才能保證該虛無假設具有意義，如果達不到，就將其推翻。

當然把顯著水準訂為0.05只是一個學術研究大家共同接受的標準，並不存在一個單一的「標準門檻」，因為將顯著水準訂為0.01或0.10也是合理和常見的。當我們把顯著水準訂為0.01(即小於1%的概率才能推翻)時，其推翻虛無假設的難度明顯大於訂為0.1(即10%)的情況，因此在統計學上的分量自然也會更重。訂定不同的顯著水準自會有其優勢和劣勢，如果門檻比較寬鬆，推翻虛無假設的可能性就越大，於是就會造成把「錯的當成對的」風險，以統計術語來說就是「第I型錯誤」(即假陽性)；如果門檻訂得太嚴，又會造成將「對的當成錯的」，稱為「第II型錯誤」(即假陰性)，這就需要權衡和妥協，要依情況再來決定。例如：

• 垃圾郵件過濾

我們不希望不是垃圾郵件被摒蔽(假陽性)更甚於是垃圾郵件沒被摒蔽(假陰性)，因為漏收一封重要郵件的損失要大於收到一封垃圾郵件，所以顯著水準要訂得低(較嚴)。

• 癌症篩查

按常理說，本來沒有癌症的人檢查後卻顯示得了(假陽性)，應該要比有癌症卻沒被檢查出來(假陰性)要好些，但是，癌症篩檢卻總是站在垃圾郵件的對立面，亦即醫師和病人總是願意容忍一定程度的假陽性，而盡力避免得了癌症卻沒篩查到的假陰性。因此，顯著水準訂得很寬，導致了許多因第I型錯誤的窮緊張(心理壓力)和其後的高額複檢費用和副作用。好在，美國衛生政策專家已經開始挑戰這一觀點。

• 打擊恐怖分子

這種情況，第I型錯誤和第II型錯誤本來都是不可容忍的。虛無假設是「某人不是恐怖分子」，我們並不希望犯第I型錯誤將無辜的人關進監獄，但是哪怕是一個恐怖分子逍遙法外(第II型錯誤)都會帶來不可估量的災難。不管你是否贊同，這就是美國政府會在證據不充分的情況下，依然將可疑分子送進關達那摩監獄的原因！

統計推論並非絕對可靠的魔法，但對於認識這個世界來說，它的作用依然是巨大的。統計推論只是將過程予以正式化！